SABR Model

1. 概要と基本概念

SABRモデル（Stochastic Alpha Beta Rho Model）は、2002年にHagan等によって開発された確率的ボラティリティモデルです。このモデルは、フォワード価格とその瞬間ボラティリティが相関を持つ確率過程に従うと仮定し、ボラティリティスマイルとスキューを効果的に再現します。名前の由来となるパラメータ（α：ボラティリティ水準、β：CEV指数、ρ：相関）により、市場の特性を柔軟に表現できます。商品先物オプション市場では、デルタヘッジの精度向上に重要な役割を果たします。

2. 商品先物市場における主な特徴

商品先物市場でのSABRモデルは優れた適合性を示します。商品価格のボラティリティスマイルは、株式や為替とは異なる形状を持ち、SABRモデルはこれを的確に捉えます。βパラメータにより、価格水準に対するボラティリティの感応度を調整でき、商品ごとの特性を反映できます。また、フォワード価格ベースのモデルであるため、先物市場との整合性が高く、異なる限月のオプションを統一的に扱えます。市場慣行として広く受け入れられており、流動性の高い市場でのスタンダードとなっています。

3. 実務での具体的な活用方法

実務では、ATM（At-The-Money）ボラティリティとその周辺の市場価格から、4つのパラメータをカリブレーションします。漸近展開公式を用いて、高速にインプライド- ボラティリティを計算します。ボラティリティ- サーフェスの補間と外挿に使用し、流動性の低い行使価格のオプション価格を推定します。デルタヘッジでは、SABRモデルによる調整済みデルタを使用し、スマイルリスクを管理します。また、ボラティリティ取引において、リッチ- チープ分析の基準として活用します。

4. メリットと効果

SABRモデルの最大のメリットは、少数のパラメータで市場のボラティリティ構造を効果的に表現できることです。解析的近似公式により高速計算が可能で、リアルタイム取引に適しています。市場慣行として確立されており、カウンターパーティとの価格合意が容易です。また、パラメータの解釈が直感的で、市場観を反映した調整が可能です。ダイナミックヘッジの精度が向上し、スマイルリスクの管理が改善されます。

5. 注意点とリスク

SABRモデルには実務上の制約があります。短期満期や極端な行使価格では、近似公式の精度が低下する可能性があります。負の価格や負のフォワード価格を扱えないという制限があります（β=0の場合を除く）。また、アメリカン- オプションへの直接適用は困難で、数値計算が必要です。パラメータの時間依存性を考慮していないため、長期オプションでは調整が必要です。極端な市場環境では、モデルの仮定が破綻する可能性があります。

6. 関連モデルとの違い

SABRモデルは、CEVモデルを確率的ボラティリティで拡張したものと解釈できます。ヘストンモデルと比較すると、より簡潔で実用的ですが、一般性は劣ります。局所ボラティリティモデルと比較すると、パラメータが少なく、解釈が容易です。Displaced Diffusionモデルと比較すると、より柔軟なスマイル形状を表現できます。SVIモデルと比較すると、理論的基礎がより確固としていますが、適合性では劣る場合があります。

7. 実務でのポイントと応用例

実務でSABRモデルを活用する際は、商品と市場の特性に応じた適切なβ値の選択が重要です。例えば、原油オプションでは、β=0.5-0.7程度が一般的で、価格水準による ボラティリティ変化を捉えます。金利オプションでは、β=0が標準的で、正規分布型のダイナミクスを仮定します。農産物オプションでは、季節性を考慮してパラメータを時期別に調整します。エキゾチック- オプションでは、SABRモデルでカリブレーションした局所ボラティリティを使用します。マーケットメイクでは、SABRパラメータの変化を監視し、ポジションリスクを動的に管理します。