Bachelier Model

1. 概要と基本概念

バシュリエモデル（Bachelier Model）は、1900年にLouis Bachelierが博士論文で提唱した、史上初の数理ファイナンスモデルです。このモデルは、価格変動が算術ブラウン運動（正規分布）に従うと仮定し、オプション価格を導出します。長らく忘れられていましたが、負の価格を扱える特性から、近年の商品先物市場、特に電力や天然ガスなどのエネルギー市場で再評価されています。

2. 商品先物市場における主な特徴

バシュリエモデルは商品先物市場で独特の利点を持ちます。負の価格を自然に扱えるため、電力市場や2020年の原油価格暴落のような極端な状況に対応できます。価格変動の絶対額が一定という仮定は、短期の商品価格変動により適合する場合があります。また、低金利環境では、ブラック- ショールズモデルとの差が小さくなり、計算の簡便性から選好されることがあります。線形性により、ポートフォリオの評価が容易になります。

3. 実務での具体的な活用方法

実務では、まず価格データから正規分布のパラメータ（平均と標準偏差）を推定します。バシュリエの公式を用いてオプション価格を計算し、特に満期が短いオプションや、ゼロ近傍で取引される商品に適用します。デルタは価格に依存しない定数となり、ヘッジが簡単になります。負の価格シナリオを含むストレステストに活用し、極端な市場環境でのリスク評価を行います。また、スプレッド- オプションの近似評価にも使用されます。

4. メリットと効果

バシュリエモデルの最大のメリットは、数学的な取り扱いが簡単で、解析解が得られることです。負の価格を含む全実数範囲で定義され、極端な市場状況にも対応できます。線形性により、ポートフォリオの加法性が成立し、リスク集計が容易です。また、短期オプションでは、ブラック- ショールズモデルと同等の精度を持ちながら、計算が簡単です。パラメータ推定が直感的で、実務での適用が容易です。

5. 注意点とリスク

バシュリエモデルには重要な限界があります。価格が負の無限大になる可能性があり、多くの商品では非現実的です。長期オプションでは、価格分布の裾が薄すぎて、極端な価格変動を過小評価します。また、価格水準に関わらず変動幅が一定という仮定は、高価格帯では非現実的です。対数正規分布を前提とする市場慣行と整合しない場合があり、他のモデルとの比較が困難です。複利効果を考慮していないため、長期の評価には不適切です。

6. 関連モデルとの違い

バシュリエモデルは、ブラック- ショールズモデルの算術版として位置づけられます。ブラック- ショールズが幾何ブラウン運動を仮定するのに対し、バシュリエは算術ブラウン運動を仮定します。正規分布モデルとして、対数正規分布モデルとは補完関係にあります。CEVモデルと比較すると、より単純ですが、価格水準によるボラティリティ変化を捉えられません。局所ボラティリティモデルの特殊ケースとして解釈できます。

7. 実務でのポイントと応用例

実務でバシュリエモデルを活用する際は、適用範囲を慎重に選択することが重要です。例えば、電力市場では、スパイク時の負の価格を含むオプション評価に使用します。天然ガス市場では、ハブ間スプレッドが負になる可能性を考慮した価格評価を行います。短期金利オプションでは、負金利環境での評価に活用します。炭素排出権市場では、価格がゼロ近傍で変動する特性に適合します。リスク管理では、極端なシナリオでのポートフォリオ評価に使用し、テールリスクを保守的に見積もります。