Conditional VaR (CVaR)

基本概念

条件付きVaR（Conditional VaR）は、VaRを超える損失が発生した場合の期待損失額を示す指標です。期待ショートフォール（Expected Shortfall、ES）、平均超過損失（Average Value at Risk）、期待テール損失（Expected Tail Loss）とも呼ばれます。例えば、99%信頼水準のVaRが10億円、条件付きVaRが15億円の場合、最悪1%のケースでは平均15億円の損失が予想されることを意味します。VaRが「どこまで」を示すのに対し、条件付きVaRは「どの程度」の損失かを示す点で、より包括的なリスク指標となっています。

数学的定義と性質

条件付きVaRは、確率論的に厳密に定義されます。連続分布の場合、CVaR_α = E[L | L > VaR_α] = (1/(1-α)) × ∫_{VaR_α}^{∞} L × f(L) dLで表されます。重要な性質として、劣加法性を満たすコヒーレントなリスク尺度であることが挙げられます。つまり、CVaR(X+Y) ≤ CVaR(X) + CVaR(Y)が成立し、分散投資の効果を適切に反映します。また、凸性を持つため、最適化問題での取り扱いが容易です。単調性、正の同次性、移動不変性も満たし、理論的に優れた性質を持ちます。

商品取引での重要性

商品取引において、条件付きVaRは特に重要です。商品価格は供給ショック、天候異常、地政学リスク等により、極端な変動を示すことがあります。2008年の原油価格急落、2010年のロシア小麦禁輸、2022年のニッケルショック等、VaRを大幅に超える損失が実際に発生しています。条件付きVaRは、これらのテールイベントでの損失規模を適切に評価します。デリバティブ取引では、非線形ペイオフによるテールリスクの評価に不可欠です。

VaRとの比較と補完関係

条件付きVaRとVaRは補完的な関係にあります。VaRは理解しやすく、計算も比較的簡単ですが、閾値を超える損失の大きさを示しません。条件付きVaRは、この限界を克服し、テールリスクの規模を定量化します。実務では、両指標を併用し、通常時のリスク管理にはVaR、ストレス時の資本計画には条件付きVaRを使用します。規制面でも、バーゼルIIIでは期待ショートフォールへの移行が進んでおり、より保守的なリスク評価が求められています。

計算手法と実装

条件付きVaRの計算方法は、VaRの手法に対応します。ヒストリカル法では、VaRを超える損失の単純平均として計算します。パラメトリック法では、切断分布の期待値を解析的に求めます。正規分布の場合、CVaR = μ + σ × φ(z_α)/(1-α)で、φは標準正規分布の密度関数です。モンテカルロ法では、シミュレーション結果のテール部分の平均を計算します。実装では、サンプル数の確保が重要で、特に高い信頼水準では十分なテールサンプルが必要です。

リスク管理での実践的活用

条件付きVaRは、実践的なリスク管理で幅広く活用されます。リスク限度設定では、VaR限度に加えて条件付きVaR限度を設定し、テールリスクの過度な集中を防ぎます。ストレステストでは、条件付きVaRをベースラインとして、更に厳しいシナリオを設定します。資本配分では、条件付きVaRベースのリスク調整後収益（RAROC）により、テールリスクを考慮した事業評価を行います。ヘッジ戦略では、条件付きVaR最小化により、極端な損失への備えを強化します。

発展的応用と研究動向

条件付きVaRは継続的に発展しています。スペクトラルリスク尺度への一般化により、リスク回避度を柔軟に反映できます。動的条件付きVaRでは、市場環境に応じた適応的評価が可能です。多期間への拡張により、時間軸を考慮したリスク管理が実現されています。