Heston Model

1. 概要と基本概念

ヘストンモデル（Heston Model）は、1993年にSteven Hestonが提唱した確率的ボラティリティモデルです。このモデルは、原資産価格とボラティリティの両方が確率過程に従うと仮定し、ボラティリティの平均回帰性と価格との相関を考慮します。商品先物市場では、ボラティリティクラスタリングやレバレッジ効果などの実証的特性を捉えることができ、より現実的なオプション価格評価を実現します。

2. 商品先物市場における主な特徴

商品先物市場でのヘストンモデルには独特の適合性があります。商品価格のボラティリティは需給ショックにより急激に変化し、この確率的な変動を自然にモデル化できます。価格とボラティリティの負の相関（レバレッジ効果）を捉え、価格下落時のボラティリティ上昇を表現できます。また、ボラティリティスマイルとタームストラクチャーを同時に再現でき、市場価格との整合性が高くなります。平均回帰パラメータにより、商品市場特有の季節性も部分的に表現可能です。

3. 実務での具体的な活用方法

実務では、まず市場のオプション価格からモデルパラメータをカリブレーションします。特性関数を用いたフーリエ変換により、準解析的にオプション価格を計算します。モンテカルロ法と組み合わせて、エキゾチック- オプションの評価も行います。ボラティリティ- サーフェスの構築において、少数の流動性の高いオプションから全体を補間します。リスク管理では、ボラティリティリスク（ベガ）をより精密に分解し、ボラティリティ- オブ- ボラティリティ（ボルボル）リスクも評価します。

4. メリットと効果

ヘストンモデルの最大のメリットは、市場で観察される複雑な現象を統一的に説明できることです。ボラティリティスマイルを内生的に生成し、マーケットメイクや相対価値取引に有用です。準解析解が存在し、計算効率が高く、リアルタイム評価が可能です。また、パラメータに経済的解釈があり、市場観を反映した調整が可能です。ボラティリティ- デリバティブの評価にも直接適用でき、統合的なリスク管理フレームワークを提供します。

5. 注意点とリスク

ヘストンモデルには実務上の課題があります。パラメータが5個と多く、カリブレーションが不安定になる可能性があります。複雑な数学を必要とし、実装とメンテナンスにコストがかかります。また、極端な市場環境では、モデルの仮定が破綻する可能性があります。ジャンプ成分が含まれていないため、急激な価格変動を完全には捉えられません。計算負荷が大きく、大規模ポートフォリオでは計算時間が問題となることがあります。

6. 関連モデルとの違い

ヘストンモデルは、ブラック- ショールズモデルを確率的ボラティリティで拡張したものです。SABRモデルと比較すると、より一般的ですが、計算が複雑です。局所ボラティリティモデルと比較すると、より少ないパラメータで市場を表現できますが、完全な較正は困難です。ジャンプ拡散モデルと組み合わせることで、Bates モデルなどのより包括的なモデルになります。GARCH系モデルと比較すると、連続時間での扱いが可能で、オプション評価に適しています。

7. 実務でのポイントと応用例

実務でヘストンモデルを活用する際は、市場と商品の特性に応じた適切なカリブレーションが重要です。例えば、原油オプションでは、地政学的リスクによるボラティリティ- ジャンプを追加的に考慮します。金オプションでは、安全資産としての特性を反映した相関構造を設定します。農産物オプションでは、季節性を平均回帰パラメータに組み込みます。エネルギー- スプレッド- オプションでは、2資産ヘストンモデルを用いて相関構造を精密に モデル化します。リスク管理では、ボラティリティ- シナリオ分析を実施し、極端な市場環境での損失を評価します。