Local Volatility Model

### 概要 局所ボラティリティモデル（Local Volatility Model）は、オプション価格評価において、原資産価格のボラティリティが一定ではなく、時間(t)と、その時点での原資産価格(S)の水準に依存する関数 σ(t, S) として変動すると仮定するモデル群の総称です。この σ(t, S) を局所ボラティリティ関数と呼びます。 ### 背景と目的 ブラック・ショールズモデルの仮定（ボラティリティ一定）では、市場で観測されるインプライド・ボラティリティのスマイルやスキューを説明できません。局所ボラティリティモデルは、この市場のオプション価格（スマイル/スキュー）に整合的になるようにボラティリティ構造を決定することを主な目的としています。 ### 代表的なモデル（デュピールモデル） 最も有名な局所ボラティリティモデルは、**デュピールモデル**です。市場で観測される全てのオプション価格から、偏微分方程式（デュピール方程式）を用いて、市場価格と完全に整合する唯一の局所ボラティリティ関数 σ(T, K) を（理論上）一意に決定できます。 ### 特徴 - **市場価格への完全適合:** モデルは、構築に使用した時点での市場オプション価格（スマイル/スキュー）を完全に再現します。 - **決定論的なボラティリティ:** ボラティリティは時間と価格水準の「関数」であり、確率的な変動要因は含まれません。この点が確率的ボラティリティモデルとの大きな違いです。 ### 利用と限界 - **ヨーロピアンオプション評価:** 市場価格と整合的な評価が可能です。 - **エキゾチックオプション評価:** 市場データから抽出した局所ボラティリティを用いて評価する基礎となります。 - **スマイルのダイナミクス:** 将来のスマイル形状の変化を捉える能力には限界があるとされます。