Normal Distribution

概要

正規分布（Normal Distribution）は、ガウス分布とも呼ばれ、平均を中心として左右対称な釣鐘型の連続確率分布です。自然界や社会現象の多くがこの分布に従うことから、統計学において最も重要な分布とされています。商品先物市場では、価格変動の確率モデルとして、リスク管理やデリバティブ価格評価の理論的基礎となっています。

正規分布は、18世紀にド- モアブルによって発見され、後にガウスによって誤差理論として体系化されました。金融市場への応用は、ブラック- ショールズ- モデルに代表されるように、現代金融理論の中核を成しています。商品市場でも、価格収益率の分布を近似する基本モデルとして広く使用されています。

ただし、商品市場の実際の価格分布は、正規分布よりも裾が厚い（ファットテール）傾向があり、極端な価格変動の発生確率が理論値よりも高いという特徴があります。このため、正規分布を基礎としながらも、その限界を理解し、適切な修正を加えることが実務では重要となっています。

主な特徴

平均と標準偏差による完全な特定が可能で、この2つのパラメータだけで分布全体が決まります。シンプルでありながら強力な性質です。

68-95-99.7規則により、平均±1σに約68%、±2σに約95%、±3σに約99.7%のデータが含まれます。リスク管理の基準として活用されます。

中心極限定理により、多数の独立な確率変数の和は正規分布に近づきます。市場価格が多数の要因の影響を受けることの理論的根拠となります。

線形変換に対する閉性があり、正規分布に従う変数の線形結合も正規分布に従います。ポートフォリオ理論で重要な性質です。

最大エントロピー分布として、平均と分散が与えられた場合の最も情報量の少ない（偏りのない）分布です。

実務での活用

VaR計算では、正規分布を仮定して、一定信頼水準での最大損失額を計算します。例えば、95%VaRは平均-1.65σとして算出されます。

オプション価格評価において、ブラック- ショールズモデルは対数正規分布（正規分布の派生）を仮定し、理論価格を導出します。

統計的検定では、価格変動の有意性や、取引戦略の有効性を検証する際の基準分布として使用されます。

シミュレーションにおいて、モンテカルロ法で正規乱数を生成し、将来の価格経路をシミュレートします。

メリット- 効果

数学的に扱いやすく、解析的な解が得られる場合が多いです。計算効率が高く、大規模なポートフォリオ分析にも対応できます。

理論的基盤が確立されており、多くの金融モデルの基礎となっています。学術研究の蓄積が豊富です。

パラメータが少なく、推定が容易です。平均と標準偏差だけで分布が決まるため、実務での適用が簡便です。

他の分布との関係が明確で、t分布、カイ二乗分布、F分布などとの関連により、様々な統計手法が利用可能です。

注意点- リスク

ファットテールを過小評価し、極端な価格変動の発生確率を実際より低く見積もる傾向があります。ブラックスワンリスクへの対応が不十分です。

対称性の仮定により、上昇と下落の確率が同じとされますが、実際の市場は非対称な場合が多いです。

独立性の仮定が現実と乖離し、市場では相関が時間変化したり、極端な状況で相関が高まったりします。

過去のパラメータが将来も継続すると仮定しますが、構造変化により分布が変わる可能性があります。

関連用語との違い

対数正規分布は、対数を取ると正規分布になる分布で、価格自体（収益率でなく）のモデル化に使用されます。

t分布は、正規分布より裾が厚い分布で、小標本や外れ値を考慮した分析に適しています。

安定分布は、ファットテールを表現できる分布族で、より現実的な市場モデルとして研究されています。

実務ポイント- 事例

原油市場では、日次収益率が概ね正規分布に従いますが、供給ショック時には3σを超える変動が理論値より頻繁に発生します。

金市場では、他の商品より正規分布への適合度が高く、安定資産としての特性を反映しています。

農産物市場では、天候イベントにより分布の裾が厚くなる傾向があり、正規分布モデルに修正が必要です。季節調整も重要となります。

商品先物取引における正規分布の理解は、リスク管理の基礎を提供しますが、その限界を認識し、実際の市場特性に応じた調整を行うことが成功の鍵となります。