Carr-Madan Formula

概要

キャー＝マダン公式（Carr-Madan Formula）は、Peter CarrとDilip Madanによって提案された、ヨーロピアンオプションの価格を計算するための数学的な公式です。オプション価格を、原資産価格の対数リターンの確率分布に対応する特性関数（Characteristic Function、確率分布のフーリエ変換）を用いて表現する点に特徴があります。

特性関数アプローチ

オプション価格はリスク中立確率下での将来ペイオフの期待割引価値です。特性関数アプローチでは、価格変動の確率分布そのものではなく、そのフーリエ変換である特性関数を利用します。特性関数が解析的に求まるモデル（レヴィ過程など）であれば、この公式でオプション価格を計算できます。

計算上の利点

• 高速フーリエ変換 (FFT) の利用: 公式はオプション価格を積分形式で表現しますが、FFTアルゴリズムを適用することで、多数の権利行使価格のオプション価格を一度に高速計算できます。
• 柔軟なモデルへの適用: ブラック- ショールズモデル以外の、より現実に近い複雑な確率分布（裾の厚い分布、ジャンプ過程など）を持つモデルに対しても適用可能です。

利用場面

• オプション価格の高速計算: 多数のオプション価格（ボラティリティスマイル計算など）を迅速に評価する必要がある金融実務。
• 非正規分布モデルでの評価: 正規分布以外のモデル下でのオプション評価。

キャー＝マダン公式は、オプション評価における計算効率とモデルの柔軟性を高める上で貢献した手法です。