Variance-Covariance Method

1. 基本概念

分散共分散法（Variance-Covariance Method）は、VaR計算の最も基本的な手法で、パラメトリック法、デルタノーマル法とも呼ばれます。ポートフォリオのリターンが多変量正規分布に従うと仮定し、各資産のボラティリティ（分散）と資産間の相関（共分散）からVaRを解析的に計算します。計算式はVaR = α × σ × √T × Vで表され、αは信頼水準に対応する標準正規分布の分位点、σはポートフォリオの標準偏差、Tは保有期間、Vはポートフォリオ価値です。商品取引では、多数の商品ポジションを持つ場合の迅速なリスク計算に適しています。

2. 数学的基礎と計算プロセス

分散共分散法の計算は以下のステップで行われます。まず、各商品の過去の価格データから日次リターンを計算し、個別のボラティリティを推定します。次に、商品間の相関係数を算出し、分散共分散行列を構築します。ポートフォリオの分散は、σ_p^2 = w^T Σ wで計算され、wはウェイトベクトル、Σは分散共分散行列です。最後に、正規分布の性質を用いてVaRを算出します。指数加重移動平均（EWMA）やGARCHモデルを用いることで、直近の市場変動をより重視した動的な推定も可能です。

3. 商品取引での適用メリット

商品取引において分散共分散法は重要な利点があります。計算が高速で、数千のポジションを持つ大規模ポートフォリオでもリアルタイムでVaR算出が可能です。線形性により、個別ポジションのリスク寄与度（限界VaR）や相関効果の分解が容易です。また、what-if分析が簡単で、新規取引のリスクインパクトを即座に評価できます。商品間の相関（原油-ガソリン、金-銀等）を明示的に考慮でき、分散効果を定量化できます。システム実装も比較的単純で、日次のリスク管理に適しています。

4. 限界と注意点

分散共分散法には重要な限界があります。正規分布仮定は商品価格の実態と乖離することが多く、ファットテールや歪度を捉えられません。特に商品市場では、供給ショックによる価格急騰、季節性、構造変化等、非正規的な変動が頻繁に発生します。また、オプション等の非線形商品では、デルタ近似の誤差が大きくなります。相関の不安定性も問題で、危機時には相関が急上昇し、分散効果が機能しなくなることがあります。極端な市場変動時のリスクを過小評価する傾向があります。

5. 拡張と改良手法

分散共分散法の限界を克服する様々な拡張があります。Cornish-Fisher展開により、歪度と尖度を考慮した調整VaRが計算できます。デルタ-ガンマ法では、2次近似により非線形性を部分的に捕捉します。多変量t分布や混合正規分布の使用により、ファットテールに対応できます。動的条件付き相関（DCC）モデルでは、時変する相関構造を考慮します。レジームスイッチングモデルにより、市場環境の変化に応じた異なるパラメータセットを使用できます。

6. 実務での実装方法

実務では、分散共分散法を効率的に実装する工夫が必要です。データ管理では、欠損値処理、外れ値除去、非同期データの調整等が重要です。パラメータ推定では、観測期間（通常250-500日）と減衰係数（EWMAでは0.94-0.97）の適切な選択が必要です。大規模行列の計算には、主成分分析による次元削減、ブロック対角化による効率化が用いられます。バックテストによる継続的な検証と、パラメータの定期的な再推定も不可欠です。

7. 他手法との併用と発展

分散共分散法は他の手法と組み合わせて使用されます。通常時は分散共分散法で迅速に計算し、重要な意思決定時にはモンテカルロ法で詳細分析を行います。ヒストリカル法との比較により、モデルリスクを評価します。ストレステストと併用し、正規分布仮定の限界を補完します。