MVaR

1. 基本概念

MVaR（Modified VaR、修正VaR）は、正規分布からの乖離を考慮してVaRを調整する手法です。金融資産のリターン分布は、正規分布と比較して歪度（skewness）と尖度（kurtosis）を持つことが知られており、MVaRはこれらの高次モーメントを組み込んでより正確なリスク評価を行います。Cornish-Fisher展開を用いて、正規分布の分位点を修正することで計算されます。商品取引では、価格の非対称な変動（上昇より下落が急激等）やテールの厚さを適切に反映し、従来のVaRより現実的なリスク推定が可能となります。

2. 計算方法と数学的基礎

MVaRの計算は、Cornish-Fisher展開により正規分布の分位点z_αを修正します。修正分位点は、z_cf = z_α + (z_α^2 - 1)S/6 + (z_α^3 - 3z_α)(K-3)/24 - (2z_α^3 - 5z_α)S^2/36で表され、Sは歪度、Kは尖度を示します。MVaR = μ + z_cf × σで計算され、μは期待リターン、σは標準偏差です。歪度が負（左に歪んだ分布）の場合、MVaRは通常のVaRより大きくなり、より保守的な推定となります。高次モーメントの推定には十分なデータが必要で、ローリング推定やベイズ推定が用いられます。

3. 商品市場での重要性

商品市場においてMVaRは特に重要です。商品価格は供給ショック、天候、地政学リスク等により、正規分布から大きく乖離した分布を示します。例えば、農産物は豊作による価格下落より、不作による価格高騰が急激で、正の歪度を持ちます。エネルギー商品は供給途絶リスクにより、上方へのジャンプが発生しやすい特性があります。金属市場では、在庫逼迫時に極端な価格スパイクが発生します。MVaRはこれらの非対称性を定量的に捉え、リスク管理の精度を向上させます。

4. 通常VaRとの比較優位

MVaRは通常のVaRに対して several優位性があります。分布の非正規性を明示的に考慮することで、テールリスクをより適切に評価できます。特に、負の歪度（下方リスクが大きい）を持つポートフォリオでは、通常VaRは大幅にリスクを過小評価する可能性がありますが、MVaRはこれを補正します。また、尖度が高い（テールが厚い）場合も、極端な損失の可能性を適切に反映します。計算も比較的簡便で、分散共分散法の自然な拡張として実装できます。

5. 実装上の課題と対処法

MVaRの実装には技術的課題があります。高次モーメントの推定は不安定で、特に歪度と尖度は外れ値の影響を受けやすくなります。対処法として、ロバスト推定、ウィンザライズ化、L-モーメント法等が用いられます。また、Cornish-Fisher展開は極端な分位点で精度が低下するため、99%を超える信頼水準では注意が必要です。時変する高次モーメントへの対応として、GARCH-type モデルやレジームスイッチングモデルとの組み合わせも検討されます。

6. ポートフォリオ最適化での活用

MVaRはポートフォリオ最適化において重要な役割を果たします。平均-分散最適化を拡張し、歪度と尖度を考慮した高次モーメント最適化が可能となります。投資家の効用関数に歪度選好（正の歪度を好む）と尖度回避（高い尖度を避ける）を組み込むことで、より現実的な最適化が実現できます。商品取引では、上方ポテンシャルを維持しながら下方リスクを制限する、非対称なリスク管理戦略の構築に活用されます。

7. 発展的応用と将来展望

MVaRは継続的に発展しています。多変量MVaRでは、資産間の共歪度（co-skewness）と共尖度（co-kurtosis）を考慮し、ポートフォリオレベルでの高次モーメント効果を評価します。時変MVaRでは、市場環境に応じて動的に調整されるパラメータを使用します。また、極値理論との組み合わせにより、テール部分のより精緻なモデリングも可能となっています。